Nociones Preliminares de la Aritmética Nivel 5

Introducción

La matemática es una ciencia que estudia las relaciones entre entes abstractos y sus propiedades. Para ello, utiliza el método deductivo, es decir, se basa en razonamientos que van desde lo particular hacia lo general.

A lo largo de la historia se han ido desarrollando ramas cada vez más especializadas de las matemáticas. Por lo general, se distinguen por su objeto principal de estudio, por ejemplo, las operaciones con números (Aritmética), los lenguajes simbólicos y ecuaciones (Álgebra), las formas y el espacio (Geometría), o el azar (Probabilidad), entre otros.

Hoy, las matemáticas se aplican en diversas disciplinas desde la ingeniería y la medicina hasta la economía y la música. Los matemáticos puros, en cambio, se encargan de hacer avances en esta ciencia con menor énfasis en su aplicación práctica; la utilidad de sus hallazgos podrá o no ser descubierta en el futuro.

Aritmética

La Aritmética es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son las  operaciones con los números. Un número en sí no posee propiedades relevantes. Sin embargo, cuando este número es relacionado de alguna forma con otro número (generalmente, mediante alguna operación), cada uno adquiere ciertas propiedades en función de su relación con el otro.

Definiciones importantes

La condición de conjunto de una agrupación de objetos, como tal, es decir, completamente separada de todas las características particulares de los objetos, se denomina pluralidad. Sin embargo, cuando nos queremos referir a un conjunto específico de cosas y no a su condición abstracta de conjunto, simplemente lo llamamos conjunto.

Estas dos definiciones son ejemplos de un concepto abstracto y un concepto concreto, respectivamente. Un concepto abstracto es obtiene a través de la abstracción. La abstracción es un proceso mediante el cual nos fijamos únicamente en los atributos comunes a un grupo de objetos, más ignoramos sus características particulares.

Formas en que se constituye la matemática

Los conceptos intuitivos son aquellos que son obtenidos mediante el contacto directo con objetos (ya sean concretos o abstractos) y sin la necesidad de recurrir a conocimientos previos. Una definición o un concepto definido es un concepto complejo formado a partir de conceptos intuitivos.

Las propiedades de conceptos intuitivos y conceptos definidos son proposiciones lógicas que describen sus características. Éstas pueden ser postulados o teoremas.

Un postulado es una propiedad intuitiva. Un teorema es una propiedad que surge a partir de propiedades intuitivas. Al hacer uso del método deductivo, los teoremas pueden ser demostrados.

Toda propiedad tiene una parte condicional (hipótesis) y una conclusión (tesis). Mientras que para que un teorema sea aceptado una demostración de que la tesis cumple lo planteado en la hipótesis es necesaria, los postulados son aceptados sin necesidad de ninguna demostración.

Un lema es un teorema que debo ser utilizado para la demostración de otro teorema. Un corolario es una consecuencia de un teorema.

En ocasiones, un teorema es también verdadero cuando se intercambia la hipótesis por la tesis y la tesis por la hipótesis. Cuando esto ocurre, el primer teorema es llamado teorema directo y el segundo, teorema recíproco.

Un escolio, en matemáticas, es una anotación que sirve para explicar alguna cuestión matemática. Un problema matemático es un problema en el cual mediante el uso de cantidades conocidas (datos) y procesos matemáticos, se busca obtener cantidades desconocidas específicas (incógnitas).

Conjuntos de números

Los números pueden ser clasificados en distintos conjuntos como veremos a continuación.

Números Naturales

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar.

N = {0, 1, 2, 3,…}*

*En algunos casos, el 0 no es considerado como un número natural.

Números Enteros

Los números enteros se utilizan para diferenciar cantidades y sus opuestos.

Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} = Z U {0} U Z+

Números Racionales

Los números racionales sirven para designar partes fraccionarias de un todo.

Q = {a/b; a ∧ b ∈ Z; b ≠ 0}

Números Irracionales

Los números irracionales son todos aquellos que no se pueden representar como una fracción.

Q’ = R – Q

Números Reales

El conjunto de todos los números que pertenecen a los conjuntos anteriormente mencionados se denomina conjunto de los números reales.

R = Q U Q’